ホガタカンスウ？
数学における保型関数（ほけいかんすう、automorphic function）は、上半平面上で定義される、特殊線型群 SL(2) の数論的部分群の一次分数変換としての作用に関して高い対称性を持つ数論的関数である。
形式的な定義
上半平面 H に SL(2, Z) は一次分数変換
によって作用する。SL(2, R) の中心に含まれる離散部分群（あるいは本質的に同じことだが PSL(2, R) の離散部分群）はフックス群と呼ばれ、フックス群 Γ のこの作用に関する商空間 H/Γ はリーマン面の構造を持つ。商空間 H/Γ が全測度有限となるときフックス群 Γ は第一種であるという。第一種フックス群 Γ による商リーマン面 H/Γ は必ずしもコンパクトではないが、尖点（カスプ）と呼ばれる点を有限個付け加えてコンパクトリーマン面にすることができる。尖点（の Γ-軌道）は H の境界である R ∪ {∞} 上に位置し、H に尖点を加えた空間 H* は閉上半平面に含まれる。
第一種フックス群 Γ に関する保型関数とは、上半平面 H に Γ の尖点を加えた空間上定義される有理型関数 f: H* → P1(C) であって、Γ の作用に関して不変であるもの
を言う。これはコンパクトリーマン面 H*/Γ 上の有理型関数と自然に同一視される。
具体例
ヤコビのテータ関数はとτ' = − 1 / τにより生成される線形分数変換の群の元により不変な保型関数である。
楕円ラムダ関数はとにより生成される線形分数変換の群の元により不変な保型関数である。
楕円モジュラー関数はモジュラー関数である。
デデキントのイータ関数の24乗η24(τ)は重さ12のモジュラー型式である。
定数は自明な保型関数であり、モジュラー関数である。
（以上、ウィキペディアより引用）
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